sábado, 26 de mayo de 2012

1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raíces de un número complejo.

Teorema de DeMoivre y Potencias

De la figura 1.1. tenemos dada la representación polar de un número complejo

Donde la formula se usa cuando 
en este caso
En general, para cualquier entero positivo k.
a esto se le conoce como Teorema de DeMoivre aplicable así mismo a las potencias de números complejos

Raíces de un número complejo

Dado un número complejo que se define tal que i2=-1. Utilizando esta notación podemos pensar en i como la raíz cuadrada de −1, pero notamos que también tenemos (-i2)2=i2=-1, así que (−i) es también una raíz cuadrada de −1. Semejantemente a los números reales, decimos que la raíz cuadrada principal de −1 es i, o, en general, si x es cualquier número real positivo, entonces en la raíz cuadrada principal de −x se cumple la siguiente igualdad:
es decir, la raíz cuadrada de un número negativo es necesariamente imaginario. Eso es debido a que  i2=-1, por lo que entonces:
Si se desea encontrar la raíz de un número imaginario es posible demostrar la igualdad
Por los argumentos dados, i no puede ser ni positivo ni negativo. Esto crea un problema: para el número complejo z, no podemos definir para ser la raíz cuadrada “positiva” de Z.

Para cada número complejo diferente a cero z existen exacto dos números W tales que w2=Z . Por ejemplo, las raíces cuadradas de i son:
y
La definición general de está introduciendo el siguiente punto de rama: si z = r eiφ es representado en coordenadas polares con −π < φ ≤ π, después fijamos el valor principal a:
Así definido, la función de la raíz es holomorfa en todas partes excepto en los números reales no positivos, donde no es incluso continua. La antedicha serie de Taylor para sigue siendo válida para el resto de los números complejos x con |x| < 1.

En general, para un número complejo expresado en forma rectangular, se obtiene:

Donde (el valor absoluto o módulo del número complejo), y el signo de la parte imaginaria de la raíz coincide con el signo de la parte imaginaria del radicando.

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