sábado, 26 de mayo de 2012

1.6 Ecuaciones polinómicas.

Los números complejos surgen ante la imposibilidad de hallar todas las soluciones de las ecuaciones polinómicas de tipo
Dados los valores apropiados de los coeficientes an a a0 , esta ecuación tendrá n soluciones reales si que permitirán reescribir el polinomio de la siguiente forma:
Sin embargo, ecuaciones incluso tan sencillas como x2 + 1 = 0 desafían esta regla, ya que su solución, que teóricamente vendría dada por
que no existe en el campo de los reales ya que la raíz cuadrada no está definida para argumentos negativos. 

Los números complejos sin embargo permiten ampliar aún más el concepto de "número", definiendo la unidad imaginaria o i como i = raíz de -1, lo que significaría que la ecuación anterior sí tendría dos soluciones, que serían x1= i y x2= - i.

La introducción de los números complejos permite probar el teorema fundamental del álgebra, que dice que cualquier ecuación polinómica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas.

De esta manera, se define genéricamente un número complejo como un número compuesto por dos partes, una parte real a y una parte imaginaria b, escribiéndose como sigue: z = a + bi.

Por ejemplo, 2-3i, 4+8i, 3-πi, etc. 

Con los números complejos se opera como se operaría con productos de sumas ordinarios, teniendo en cuenta siempre que i2 = -1: (a + bi)(c + di) = ac +adi +bci + bdi2 = (ac - bd) + (ad+bc)i.

La división es un poco más sofisticada debido a la necesidad de eliminar la unidad imaginaria del de nominador de la fracción:

4 comentarios:

  1. Ingeniero Jazmín Morales: checando google encontré esta pagina.Gracias por la explicación. Actualmente estoy estudiando ingeniería en electrónica en la UNIDES en puebla,que es una universidad abierta,donde el único maestro son los libros y el internet; por lo que agradeceria si tuviera más informacion sobre transformada de laplace o series de fourier,me lo hiciese llegar a mi correo que es jacobotomas.sandoval@gmail.com.
    Gracias.

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  2. perdon amigo mm solo queria preguntarte si es correcto en la division mmm yo creo que en el denominador, es una diferencia de cuadrados, no una suma XD en fin gracias!!!!!

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    1. Hola que tal! No soy el creador de contenido de este blog, pero te explicaré :)
      al c+di multiplicarlo por su conjugado (c-di) como tu dices, normalmente se haría una resta o "diferencia de cuadrados"
      esto quedaría así: c^2-(d^2i^2) ó c^2-(di)^2.
      Sea como sea, la i como es raíz de -1, al elevarlo al cuadrado se vuelve -1. (i^2 = -1)
      entonces como en la diferencia había un -d^2, al estar multiplicado por -1 se vuelve +
      y queda c^2+d^2.
      Espero que me haya dado a entender. Saludos!

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  3. llegamos al mismo resultado utilizando la formula del inverso que si utilizamos el conjugado del denominador

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