jueves, 31 de mayo de 2012

5.3 La matriz de una transformación lineal.


Si A es una matriz de m*n y T: Rn-Rm está definida por Tx = Ax, entonces, T es una transformación lineal. Ahora se verá que para toda transformación lineal de Rn en Rm existe una matriz A de m*n tal que Tx = Ax para todo x ϵ Rn. Este hecho es de gran utilidad. Si Tx = Ax. Entonces un T = NA e Im T = RA. más aun, v(T) = dim un T = v(A) y p(T) = dim Im T = p(A). Así se puede determinar el núcleo, la imagen, la nulidad y el rango de una transformación lineal de Rn-Rm determinando el espacio nulo y la imagen de la matriz correspondiente. Adicionalmente, una vez que se sabe que Tx = Ax. Se puede evaluar Tx para cualquier x en Rn mediante una simple multiplicación de matrices.
Pero esto no es todo. Como se verá, cualquier transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita se puede representar mediante una matriz.
Teorema 1
Sea T:Rn -Rm una transformación lineal. Existe entonces una matriz única de m*n, AT tal que
Demostración
Sea w1 = Te1,w2 = Te2,….,wn = Ten. Sea AT la matriz cuyas columnas son w1, w2,…., wn y hagamos que AT denote también ala transformación de Rn-Rm, que multiplica un vector en Rn por AT. si
Entonces
De esta forma, ATei = wi para i = 1,2,….n., T y la transformación AT son las mismas porque coinciden en los vectores básicos.

Ahora  se puede demostrar que AT es única. Suponga que Tx = ATx y que Tx = BTx para todo x ϵ Rn. Entonces ATx = BTx, o estableciendo CT= AT – BT, se tiene que CTx = 0 para todo x ϵ Rn. En particular, CTei es la columna i de CT. Así, cada una de las n columnas de CT es el m-vector cero, la matriz cero de m*n. Esto muestra que AT = BT y el teorema queda demostrado.

Definición 1    Matriz de transformación
La matriz AT en el teorema 1 se denomina matriz de transformación correspondiente a T o representación matricial de T.

NOTA. La matriz de transformación AT está definida usando las bases estándar tanto en Rn como en R3. Si se utilizan otras bases, se obtendrá  una matriz de transformación diferente.

TEOREMA 2   sea AT la matriz de transformación correspondiente a laa transformación lineal T. entonces.
i.                     Im T = Im A = CAT
ii.                   P(T) = p(AT)
iii.                  Un T = NAT
iv.                 v(T) = v(AT
Ejemplo 1    Representación matricial de una transformación de proyección
Encuentre la matriz de transformación AT correspondiente ala proyección de un vector en R3 sobre el plano xy.
Solución
Teorema 4
Sean V y W espacios vectoriales de dimensión finita con dim V = n. sea T:V-W una transformación lineal y sea AT una representación matricial de T respecto a las bases B1 en V y Ben W. entonces
i.                     p(T) =p(AT)         ii. V(A) = v(AT)           iii. V(a) + p(T) = n

Teorema 5 Sea T:Rn-Rm una transformación lineal. Suponga que C es la matriz de transformación de T respecto a las bases estándar Sn y Sm en Rn y Rm, respectivamente. Sea A1 la matriz de transición  de B2 a base Sm en Rm. Si AT denota la matriz de transformación de T respecto a las bases B1 y B2, entonces.
Geometría de las transformaciones lineales de R2 en R2.
Sea T:R2-R2 una transformación lineal con representación matricial AT Ahora de demostrará que si AT es invertible, entonces T se puede escribir como una sucesión de una o más transformaciones especiales, denominadas expansiones, compresiones, reflexiones y cortes.

Expansiones a lo largo de los ejes x o y
Una expansión a lo largo del eje x es una transformación lineal que multiplica a la coordenada x de un vector en R2 por una constante C >1. Esto es
De manera similar, una expansión a lo largo del eje y es una transformación lineal que multiplica la coordenada y de todo vector en R2 por una constante C>1. Como antes ,
entonces la representación matricial de T es  de manera que
a)      se comienza con este rectángulo.
b)      Expansión en la dirección de x c = 2.
c)       Expansión en la dirección de y con c = 4.

Compresión a lo largo de los ejes x o y.
Una compresión a lo largo de los ejes x o y es una transformación lineal que multiplica ala coordenada x o y de un vector en R2 por una constante positiva 0<c<1, mientras que para la expansión c<1.
a)      se comienza con este rectángulo.
b)      Compresión a lo largo del eje x con c =1/3.
c)       Compresión a lo largo del eje x con c=1/2.







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