5.4 Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, dilatación, contracción y rotación.

Reflexión sobre el eje x

En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T de R2 en R2 que cada vector  lo refleja sobre el eje x, para obtener un vector 

En una gráfica, vemos la situación como sigue:

En este caso, la situación es más sencilla ya que claramente tenemos dos triángulos rectángulos que son congruentes, de donde  T  queda definida como sigue:

Esta transformación se llama la reflexión sobre el eje x, y es lineal, ya que:

Ejemplo dilatación o expansión

Una dilatación es una transformación que incrementa distancias.

Sea V= (2 4) encontrara la expansión vertical cuando K=2

Expansión horizontal (k71) o contracción (0<k<1)

Expansión vertical (k71) o contracción (0<k<1)

Ejemplo contracción

Una contracción es una transformación que decrece distancias. Bajo una contracción, cualquier par de puntos es enviado a otro par a distancia estrictamente menor que la original.

Sea V= (2 4) encontrara la contracción horizontal cuando K=1/2

Haciendo la grafica el punto disminuye en el eje horizontal.

Rotación por un ángulo

Sea  un ángulo medido en radianes. Queremos averiguar  cual es la transformación  T  de R2 en R2 que gira cada vector un angulo , para obtener un vector 

En una gráfica, vemos la situación como sigue:

Si usamos las funciones trigonométricas, tenemos que:

Distribuyendo y usando el hecho de que  y  tenemos que:

Por lo tanto, ya descubrimos cómo debe estar definida la transformación  tal que 

Esta transformación se llama la rotación por un ángulo y es lineal, ya que:

5.3 La matriz de una transformación lineal.

Si A es una matriz de m*n y T: R^n-R^m está definida por Tx = Ax, entonces, T es una transformación lineal. Ahora se verá que para toda transformación lineal de Rⁿ en R^m existe una matriz A de m*n tal que Tx = Ax para todo x ϵ Rⁿ. Este hecho es de gran utilidad. Si Tx = Ax. Entonces un T = N_A e Im T = R_A. más aun, v(T) = dim un T = v(A) y p(T) = dim Im T = p(A). Así se puede determinar el núcleo, la imagen, la nulidad y el rango de una transformación lineal de R^n-R^m determinando el espacio nulo y la imagen de la matriz correspondiente. Adicionalmente, una vez que se sabe que Tx = Ax. Se puede evaluar Tx para cualquier x en Rⁿ mediante una simple multiplicación de matrices.

Pero esto no es todo. Como se verá, cualquier transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita se puede representar mediante una matriz.

Teorema 1

Sea T:R^n -R^m una transformación lineal. Existe entonces una matriz única de m*n, A_T tal que

Demostración

Sea w₁ = Te₁,w₂ = Te₂,….,w_n = Te_n. Sea A_T la matriz cuyas columnas son w₁, w₂,…., w_n y hagamos que A_T denote también ala transformación de R^n-R^m, que multiplica un vector en Rⁿ por A_T. si

Entonces

De esta forma, A_Te_i = w_i para i = 1,2,….n., T y la transformación A_T son las mismas porque coinciden en los vectores básicos.

Ahora  se puede demostrar que A_T es única. Suponga que Tx = A_Tx y que Tx = B_Tx para todo x ϵ Rⁿ. Entonces A_Tx = B_Tx, o estableciendo C_T= A_T – B_T, se tiene que C_Tx = 0 para todo x ϵ Rⁿ. En particular, C_Te_i es la columna i de C_T. Así, cada una de las n columnas de C_T es el m-vector cero, la matriz cero de m*n. Esto muestra que A_T = B_T y el teorema queda demostrado.

Definición 1    Matriz de transformación

La matriz A_T en el teorema 1 se denomina matriz de transformación correspondiente a T o representación matricial de T.

NOTA. La matriz de transformación A_T está definida usando las bases estándar tanto en Rⁿ como en R³. Si se utilizan otras bases, se obtendrá  una matriz de transformación diferente.

TEOREMA 2   sea A_T la matriz de transformación correspondiente a laa transformación lineal T. entonces.

i.                     Im T = Im A = C_AT

ii.                   P(T) = p(A_T)

iii.                  Un T = N_AT

iv.                 v(T) = v(A_T

Ejemplo 1    Representación matricial de una transformación de proyección

Encuentre la matriz de transformación A_T correspondiente ala proyección de un vector en R³ sobre el plano xy.

Solución

Teorema 4

Sean V y W espacios vectoriales de dimensión finita con dim V = n. sea T:V-W una transformación lineal y sea A_T una representación matricial de T respecto a las bases B₁ en V y B₂  en W. entonces

i.                     p(T) =p(A_T)         ii. V(A) = v(A_T)           iii. V(a) + p(T) = n

Teorema 5 Sea T:R^n-R^m una transformación lineal. Suponga que C es la matriz de transformación de T respecto a las bases estándar S_n y S_m en Rⁿ y R^m, respectivamente. Sea A₁ la matriz de transición  de B₂ a base S_m en R^m. Si A_T denota la matriz de transformación de T respecto a las bases B₁ y B₂, entonces.

Geometría de las transformaciones lineales de R² en R².

Sea T:R^2-R² una transformación lineal con representación matricial A_T Ahora de demostrará que si A_T es invertible, entonces T se puede escribir como una sucesión de una o más transformaciones especiales, denominadas expansiones, compresiones, reflexiones y cortes.

Expansiones a lo largo de los ejes x o y

Una expansión a lo largo del eje x es una transformación lineal que multiplica a la coordenada x de un vector en R² por una constante C >1. Esto es

De manera similar, una expansión a lo largo del eje y es una transformación lineal que multiplica la coordenada y de todo vector en R² por una constante C>1. Como antes ,

entonces la representación matricial de T es  de manera que

a)      se comienza con este rectángulo.

b)      Expansión en la dirección de x c = 2.

c)       Expansión en la dirección de y con c = 4.

Compresión a lo largo de los ejes x o y.

Una compresión a lo largo de los ejes x o y es una transformación lineal que multiplica ala coordenada x o y de un vector en R² por una constante positiva 0<c<1, mientras que para la expansión c<1.

a)      se comienza con este rectángulo.

b)      Compresión a lo largo del eje x con c =1/3.

c)       Compresión a lo largo del eje x con c=1/2.

5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal.

En esta sección se desarrollan algunas propiedades  básicas de las transformaciones lineales.

Teorema 1. Sea T: V  W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v₁, v₂,….v_n en V y todos los escalares

 Nota  en la parte i el 0 de la izquierda es el vector cero en v; mientras que el cero de la derecha es el vector cero en W.

i. T(0) = T(0 + 0)= T(0) + T(0). Así 0= T(0) – T(0) = T(0) + t(0) – T(0) = T(0)

ii.T(u-v) = T[u + (-1)v] = Tu + T[(-1)v] = Tu + (-1)Tv = Tu – Tv.

iii.Esta parte se prueba por inducción (vea el apéndice 1). Para n = 2 se tiene T(α₁v₁ + α₂v₂) = T (α₁v₁) + T(α₂v₂) = α₁Tv₁ + α₂Tv₂. Así, la ecuación (1) se cumple para n = 2. Se supone que se cumple para n = k y se prueba para n=k + 1: T(α₁v₁ + α₂v₂+ ….+ α_kv_k+α_k+1v_k-1 ) = T(α₁v₁ + α₂v₂+….+α_kv_k) + T(α_k+1v_k+1), y usando la ecuación en la parte iii para n= k, esto es igual a (α₁Tv₁ + α₂Tv₂+….α_kTv_k) + α_k+1Tv_k+1, que es lo que se quería demostrar. Esto completa la prueba.

Observación. Los incisos i) y ii) del teorema 1 son casos especiales del inciso iii). Un dato importante sobre las transformaciones lineales es que están completamente determinadas por el efecto sobre los vectores de la base.

Teorema 2      Sea v un espacio vectorial de dimensión finita con base B= {v1,v₂,….v_n}. Sean w₁,w₂,….w_n vectores en W. Suponga que T₁ y T₂ son dos transformaciones lineales de V en W tales que T₁v_i = T₂v_i = w_i para i = 1, 2,…,n. Entonces para cualquier vector v ϵ v, T ₁v = T₂v; es decir T₁ = T₂.

Como B es una base para V, existe un conjunto único de escalares α₁, α₂,…., α_n. Tales que  v = α₁v₁ + α₂v₂ + …+ α_n v_n. 

Entonces, del inciso iii) del teorema 1, T₁v = T₁(α₁ v₁ + α₂v₂ + …+ α_nv_n) = α₁T₂v₁ + α₂T₂v₂ +… + α_nT_nv_n= α₁w₁ + α₂w₂ +…+ α_nT_nv_n

De manera similar T₂v = T₂(α₁v₁ + α₂v₂ + …+ α_nv_n)  = α₁T₂v₁ + α₂T₂v₂ +…+ α_nT_nv_n                                            = α₁w₁ + α₂w₂ +…+ α_nv_n

Por lo tanto, T₁v =T₂v.

El teorema 2 indica que si T:v W y V tiene dimensión finita, entonces sólo es necesario conocer el efecto que tiene T sobre los vectores de la base en V. Esto es, si se conoce la imagen de cada vector básico, se puede determinar la imagen de cualquier vector en V. Esto determina T por completo. Para ver esto, sean v₁, v₂,….v_n una base en V y sea v otro vector en V. Entonces, igual que en l aprueba del teorema 2, Tv = α₁Tv₁ + α₂Tv₂ +…+ α_nTv_n

Así, se puede calcular Tv para cualquier vector vϵ V si se conocen Tv₁,Tv₂,….Tv_n

Ejemplo 1 Si se conoce el efecto de una transformación lineal sobre los vectores de la base, se conoce el efecto sobre cualquier otro vector.

Sea T una transformación lineal de R³ en R² y suponga que

Solución. Se tiene

 Entonces

Surge otra pregunta; si w₁,w₂,….,w_n son n vectores en W, ¿existe una transformación lineal T tal que Tv₁ = w₁ para i = 1,2,…,n? La respuesta es sí. Como lo muestra el siguiente teorema.

Definición 1 Núcleo e imagen de una transformación lineal

Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T:V W una transformación lineal. Entonces

i . El núcleo de T, denotado por un, está dado por

ii. La imagen de T, denotado por Im T, esta dado por

Observacion 1. Observe que un T es no vacio porque, de acuerdo al teorema 1, T(0) = 0 de manera que 0 ϵ un T para cualquier transformación lineal T. Se tiene interés en encontrar otros vectores en V que “se transformen en 0”. De nuevo, observe que cuando escribimos T(0) = 0, el 0 de la izquierda está en V y el de la derecha en W.

Observación 2. La imagen  de T es simplemente el conjunto de “imajenes” de los vectores en V bajo la transformación T. De hecho, si w = Tv, se dice que w es la imagen de v bajo T.

Antes de dar ejemplos de núcleos e imágenes , se demostrará un teorema de gran utilidad.

Teorema 4 Si T:V W es una transformación lineal, entonces

i.Un T es un subespacio de V.

ii.Im T es un subespacio de W.

Demostracion

i.Sean u y v en un T; Entonces T(u + v) = Tu + Tv =0 + 0 =0 y T( ) =  = 0 = 0 de forma que u + v y ∝u están en un T.

ii. Sean w y x en Im T. Entonces w = Tu y x = Tv para dos vestores u y v en V. Esto significa que T(u + v)= Tu + Tv = w + x y T(∝u) = ∝Tu =∝w. Por lo tanto, w + x y ∝w están en Im T.

Ejemplo 3.  Núcleo e imagen de la transformación cero

Sea Tv = 0 para todo vϵ V(T es la transformación cero). Entonces un T = v e Im T = {0}.

Ejemplo 4   Núcleo e imagen de la transformación identidad

Sea Tv = v para vϵ V(T es la transformación identidad). Entonces un T= {0} e Im T = V.

Las transformaciones cero e identidad proporcionan dos extremos. En la primera todo se                     encuentra en el núcleo. En la segunda sólo el vector cero se encuentra en el núcleo. Los casos intermedios son más interesantes.

Ejemplo 5 Núcleo e imagen de un operador de proyección

Sea T:R³ R³ definida por 

 T es el operador de proyección de R³ en el plano xy.

Entonces x = y = 0. Así, nu T = {(x,y,z):x  = y = 0, zϵR}, es decir, el eje z, e Im T = {(x,y,z): z = 0}, es decir el  plano xy. Observe que dim un T = 1 y dim Im T = 2.

Definición 2      Nulidad y rango de una transformación lineal

Si T es una transformación lineal de v en w, entonces se define.

Observación. En la sección 4.7 se definieron el rango, la imagen, el espacio nulo y la nulidad de una matriz. Según el ejemplo 5.1.7, Toda matriz A de m*n da lugar a una transformación lineal T:R^´´ R^´´´ definida por Tx = Ax. Es evidente que un T = N_A, Im T = Im A = C_A, v(T) = v(A) y p(T) = p(A). Entonces se ve que las definiciones de núcleo, imagen, nulidad y rango de una transformación lineal son extensiones del espacio nulo, la imagen, la nulidad y el rango de una matriz.

Ejemplo 6.   Núcleo y nulidad de un operador de proyección

Sea H un subespacio de R´´ y sea Tv = proy_H v. Es obvio que la Im T = H. Se tiene que toda vϵ V si v=h + proy_H v + proy_Hv. Si Tv = 0, entonces h=0, lo que significa498

5.1 Introducción a las transformaciones lineales.

El presente capitulo aborda una clase especial de funciones denominadas transformaciones lineales que ocurren con mucha frecuencia en el algebra lineal y otras ramas de las matematicas. Estas tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Antes de definirlas, se estudiaran dos ejemplos sencillos para ver lo que es posible realizar.

Ejemplo 1: reflexión respecto al eje x

En R² se define una función T mediante la formula T(x;y)=(x;-y). Geométricamente, T toma un vector en R² y lo refleja respecto al eje x. esto se ilustra en la figura. Una vez que se ha dado la definición básica, se vera que T es una transformación lineal de R² en R².

Ejemplo 2: transformación de un vector de producción en un vector de materia prima.

Un fabricante elabora cuatro tipos de productos distintos, de los cuales cada uno requiere  tres tipos de materiales. Se identifican los cuatro productos como P­₁, P₂, P₃, y P₄ y a los materiales por R₁, R₂ y R₃. La tabla siguiente muestra el numero de unidades de cada materia prima que se requieren para fabricar 1 unidad de cada producto.

Ejemplo 2: transformación de un vector de producción en un vector de materia prima.

Un fabricante elabora cuatro tipos de productos distintos, de los cuales cada uno requiere  tres tipos de materiales. Se identifican los cuatro productos como P­₁, P₂, P₃, y P₄ y a los materiales por R₁, R₂ y R₃. La tabla siguiente muestra el numero de unidades de cada materia prima que se requieren para fabricar 1 unidad de cada producto.

Surge una pregunta natural: si se produce cierto número de los cuatro productos, ¿Cuántas unidades de cada material se necesitan? Sean p₁, p₂, p₃ y p₄ el número de artículos fabricados en los cuatro productos y sean r₁, r₂, y r₃ el número de unidades necesarios de los tres materiales. Entonces se define

Por ejemplo, suponga que P=(10,30,20,50). ¿Cuántas unidades de R₁ se necesitan para producir estos números de unidades de los cuatro productos? De la tabla se tiene que

r=p₁*2+p₂*1+p₃*3+p₄*4=10*2+30*1+20*3+50*4=310 unidades

de manera similar  r₂=10*4+30*2+20*2+50*1=190 unidades

y r₃=10*3+30*3+20*1+50*2=240 unidades

en general se ve que 

o A_p= r.

Esto se puede ver de otra manera. Si a p se le conoce como le vector de producción y a r como el vector de materia prima, se define la función T por = T(p) = Ap. Esto es, T es la función que “transforma” el vector de producción en el vector de materia prima y se hace mediante la multiplicación  de matrices ordinaria. Como se verá , esta función es también una transformación lineal.

Antes de definir una transformación lineal, hablaremos un poco sobre las funciones. En la sección 1.7 se escribió un sistema de ecuaciones como

Ax=b

Donde A es una matriz de m*n, x  R” y b  R”. Se pidió encontrar x cuando  A y b se conocían . No obstante, esta ecuación se puede ver de otra forma: suponga que A se conoce. Entonces la ecuación Ax=b “dice” : proporcione una x en R´´ y yo le daré una b en R´´´; es decir , A representa una función con dominio R´´ e imagen en R´´´.

La función que se acaba de definir tiene las propiedades de que A (      si  es un escalar y A(x + y) = Ax + Ay. Esta propiedad caracteriza las transformaciones lineales.

Definición 1  transformación lineal

Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v  V un vector único Tv  W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar .

T(u + v) = Tu + Tv             Y                T(av)=aTv

TRES OBSERVACIONES SOBRE NOTACIÓN

1. Se escribe T: v W para indicar que T toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial real W; esto es, T es una función  con V como su dominio y un subconjunto de W como su imagen.

2. Se escriben indistintamente Tv y T(v). Denotan lo mismo; las dos se leen “T de v”. Esto es análogo a la notación funcional ʄ(x), que se lee “ʄ de x”.

3. Gran parte de las definiciones y teoremas en este capítulo también se cumplen para los espacios vectoriales complejos (espacios vectoriales en donde los escalares son números complejos).

Ejemplo 5 La transformación identidad

Sea V un espacio vectorial y definida I: V V por Iv = v para todo v en V. Aquí es obvio que es I es una transformación lineal, la cual se denomina transformación identidad u operador identidad.

Ejemplo 6    Transformación de reflexión

Sea T:R² R² definida por T(x;y)=(x;-y). Es fácil verificar que T es lineal. En términos geométricos, T toma un vector en R² y lo refleja respecto al eje y (vea la figura 5.2)

Ejemplo 7   Transformaciones de Rⁿ R^m dada por la multiplicación por una matriz de m*n.

Sea A una matriz de m*n y definida T:R´´ R´´´ por Tx = Ax. Como A(x + y) = Ax + Ay y A(  si x y y están en R´´, se observa que T es una transformación lineal. Entonces: toda matriz A de m*n se puede utilizar  para definir  una transformación lineal de R´´ en R´´´.