4.6 Base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt.

Conjunto ortonormal en Rⁿ

Se dice que un conjunto de vectores S={u1, u2, …, uk} en Rn es un conjunto ortonormal si (1) (2)

 Si solo satisface la ecuación (1), se dice que el conjunto es ortogonal.

Si u, v y w en Rn y α es un numero real, entonces (3) (4) (5) (6)(7)

Ahora se presenta otra definición útil

Si vϵRn, entonces la longitud o norma de v, denotada por |v|, esta dada por (8)

 Nota. Si entonces v*v= Esto significa que (9)

De esta forma se puede obtener la raíz cuadrada en (8), y se tiene (10)(11)

 TEOREMA:  si S=es un conjunto ortogonal de vectores diferentes de cero, entonces S es linealmente independiente.

Suponga que 

Entonces, para cualquier i=1,2,…,k

Como v≠0 por hipótesis |v|²>0 y se dice que c=0. Esto es cierto para i=1,2,…,k, lo que completa la prueba.

Proceso de ortonormalizacion de Gram-Schmidt

Sea H un subespacio de dimensión m de Rn. Entonces H tiene una base ortonormal.

Sea S= una base de H. se probara el teorema construyendo una base ortonormal a partir de vectores en S. antes de dar los pasios para esta construccion, se observa el hecho sencillo de que un conjunto de vectores linealmente independiente no contiene al vector cero.

Paso 1. Eleccion del primer vector unitario

Sea (12) 

Entonces

 De manera que |u|=1.

Paso 2. Eleccion de un segundo vector ortogonal a u

Como anteriormente se ha visto que, en R2, el vector es la ortogonal a v. en este caso es la proyeccion de u sobre v. esto se ilustra en la siguiente figura.

Resulta que el vector w dado es ortogonal a v cuando w y v están en Rn para cualquier n≥2. Obsérvese que como u es un vector unitario, para cualquier vector v.

Sea (13) entonces  de manera que v’ es ortogonal a u. mas aun, por el teorema, u y v´son linealmente independientes. v’≠0 porque de otra manera  lo que contradice la independencia de v1 y v2.

Paso 3. Elección de un segundo vector unitario

Sea (14)  entonces es evidente que {u1,u2} es un conjunto ortonormal.

Suponga que se han construido los vectores u1, u2,…,uk(k<m) y que forman un conjunto ortonormal. Se mostrara como construir u_k+1.

Paso 4. Continuación del proceso

Sea (15)  entonces para i=1,2,…,k 

Pero  Por lo tanto, 

Así,  es un conjunto linealmente independiente, ortogonal y v´_k+1≠0.

Paso 5

Sea 

Entonces es claro que  es un conjunto ortonormal y se puede continuar de esta manera hasta que k+1=m con lo que se completa la prueba.

Nota. Como cada u es una combinación lineal de vectores v, gen  es un subespacio de gen  y como cada espacio tiene dimensión k, los espacio son iguales.