5.3 La matriz de una transformación lineal.

Si A es una matriz de m*n y T: R^n-R^m está definida por Tx = Ax, entonces, T es una transformación lineal. Ahora se verá que para toda transformación lineal de Rⁿ en R^m existe una matriz A de m*n tal que Tx = Ax para todo x ϵ Rⁿ. Este hecho es de gran utilidad. Si Tx = Ax. Entonces un T = N_A e Im T = R_A. más aun, v(T) = dim un T = v(A) y p(T) = dim Im T = p(A). Así se puede determinar el núcleo, la imagen, la nulidad y el rango de una transformación lineal de R^n-R^m determinando el espacio nulo y la imagen de la matriz correspondiente. Adicionalmente, una vez que se sabe que Tx = Ax. Se puede evaluar Tx para cualquier x en Rⁿ mediante una simple multiplicación de matrices.

Pero esto no es todo. Como se verá, cualquier transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita se puede representar mediante una matriz.

Teorema 1

Sea T:R^n -R^m una transformación lineal. Existe entonces una matriz única de m*n, A_T tal que

Demostración

Sea w₁ = Te₁,w₂ = Te₂,….,w_n = Te_n. Sea A_T la matriz cuyas columnas son w₁, w₂,…., w_n y hagamos que A_T denote también ala transformación de R^n-R^m, que multiplica un vector en Rⁿ por A_T. si

Entonces

De esta forma, A_Te_i = w_i para i = 1,2,….n., T y la transformación A_T son las mismas porque coinciden en los vectores básicos.

Ahora  se puede demostrar que A_T es única. Suponga que Tx = A_Tx y que Tx = B_Tx para todo x ϵ Rⁿ. Entonces A_Tx = B_Tx, o estableciendo C_T= A_T – B_T, se tiene que C_Tx = 0 para todo x ϵ Rⁿ. En particular, C_Te_i es la columna i de C_T. Así, cada una de las n columnas de C_T es el m-vector cero, la matriz cero de m*n. Esto muestra que A_T = B_T y el teorema queda demostrado.

Definición 1    Matriz de transformación

La matriz A_T en el teorema 1 se denomina matriz de transformación correspondiente a T o representación matricial de T.

NOTA. La matriz de transformación A_T está definida usando las bases estándar tanto en Rⁿ como en R³. Si se utilizan otras bases, se obtendrá  una matriz de transformación diferente.

TEOREMA 2   sea A_T la matriz de transformación correspondiente a laa transformación lineal T. entonces.

i.                     Im T = Im A = C_AT

ii.                   P(T) = p(A_T)

iii.                  Un T = N_AT

iv.                 v(T) = v(A_T

Ejemplo 1    Representación matricial de una transformación de proyección

Encuentre la matriz de transformación A_T correspondiente ala proyección de un vector en R³ sobre el plano xy.

Solución

Teorema 4

Sean V y W espacios vectoriales de dimensión finita con dim V = n. sea T:V-W una transformación lineal y sea A_T una representación matricial de T respecto a las bases B₁ en V y B₂  en W. entonces

i.                     p(T) =p(A_T)         ii. V(A) = v(A_T)           iii. V(a) + p(T) = n

Teorema 5 Sea T:R^n-R^m una transformación lineal. Suponga que C es la matriz de transformación de T respecto a las bases estándar S_n y S_m en Rⁿ y R^m, respectivamente. Sea A₁ la matriz de transición  de B₂ a base S_m en R^m. Si A_T denota la matriz de transformación de T respecto a las bases B₁ y B₂, entonces.

Geometría de las transformaciones lineales de R² en R².

Sea T:R^2-R² una transformación lineal con representación matricial A_T Ahora de demostrará que si A_T es invertible, entonces T se puede escribir como una sucesión de una o más transformaciones especiales, denominadas expansiones, compresiones, reflexiones y cortes.

Expansiones a lo largo de los ejes x o y

Una expansión a lo largo del eje x es una transformación lineal que multiplica a la coordenada x de un vector en R² por una constante C >1. Esto es

De manera similar, una expansión a lo largo del eje y es una transformación lineal que multiplica la coordenada y de todo vector en R² por una constante C>1. Como antes ,

entonces la representación matricial de T es  de manera que

a)      se comienza con este rectángulo.

b)      Expansión en la dirección de x c = 2.

c)       Expansión en la dirección de y con c = 4.

Compresión a lo largo de los ejes x o y.

Una compresión a lo largo de los ejes x o y es una transformación lineal que multiplica ala coordenada x o y de un vector en R² por una constante positiva 0<c<1, mientras que para la expansión c<1.

a)      se comienza con este rectángulo.

b)      Compresión a lo largo del eje x con c =1/3.

c)       Compresión a lo largo del eje x con c=1/2.