5.4 Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, dilatación, contracción y rotación.

Reflexión sobre el eje x

En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T de R2 en R2 que cada vector  lo refleja sobre el eje x, para obtener un vector 

En una gráfica, vemos la situación como sigue:

En este caso, la situación es más sencilla ya que claramente tenemos dos triángulos rectángulos que son congruentes, de donde  T  queda definida como sigue:

Esta transformación se llama la reflexión sobre el eje x, y es lineal, ya que:

Ejemplo dilatación o expansión

Una dilatación es una transformación que incrementa distancias.

Sea V= (2 4) encontrara la expansión vertical cuando K=2

Expansión horizontal (k71) o contracción (0<k<1)

Expansión vertical (k71) o contracción (0<k<1)

Ejemplo contracción

Una contracción es una transformación que decrece distancias. Bajo una contracción, cualquier par de puntos es enviado a otro par a distancia estrictamente menor que la original.

Sea V= (2 4) encontrara la contracción horizontal cuando K=1/2

Haciendo la grafica el punto disminuye en el eje horizontal.

Rotación por un ángulo

Sea  un ángulo medido en radianes. Queremos averiguar  cual es la transformación  T  de R2 en R2 que gira cada vector un angulo , para obtener un vector 

En una gráfica, vemos la situación como sigue:

Si usamos las funciones trigonométricas, tenemos que:

Distribuyendo y usando el hecho de que  y  tenemos que:

Por lo tanto, ya descubrimos cómo debe estar definida la transformación  tal que 

Esta transformación se llama la rotación por un ángulo y es lineal, ya que: