4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base.

Se ha visto en R2 conviene escribir vectores como una combinación lineal de los vectores  . En R3 se escribieron los vectores en términos de . Ahora se generalizara esta idea.
BASEUn conjunto finito de vectores es una base para un espacio vectorial V si 

Todo conjunto de n vectores linealmente independiente en Rn es una base en Rn.

En Rn se define 

Puesto que los vectores e, son las columnas d una matriz identidad (que tiene determinante 1),es un conjunto linealmente independiente y, por lo tanto, constituye una base en Rn. Esta base especial se denomina base canonica en Rn. Ahora se encontraran bases para otros espacios.

EJEMPLO: base canonica para M₂₂

Se vio que generan a 

 , entonces es evidentemente que . Así, estas cuatro matrices son linealmente independientes y forman una base para M₂₂, lo que se denomina base cononica para M₂₂.

TEOREMA: sies una base para V y si vÎV, entonces existe un conjunto único de escalares tales que

Existe cuando menos un conjunto de dichos escalares porque genera a V. suponga entonces que v se puede escribir e dos maneras como una combinación lineal de los vectores de la base.

Es decir, suponga que
Sea  dos bases para V. debe demostrarse que m=n. esto se prueba mostrando que si m>n, entonces S es un conjunto literalmente independiente, lo que contradice la hipótesis de que S es una bse. Esto demostrara que m≤n. la misma prueba demostrara que ≤m y esto prueba el teorema. Así, basta demostrar que si m>n, entonces S es independiente. Como S constituye una base, todo u se puede expresar como una combinación lineal de las v. se tiene (1)
TEOREMA: suponga que dimV=n. si 

Entonces, restando se obtiene la ecuaciónpero como los v son linealmente independientes, esta ecuación se cumple si y solo si

 Así, y el teorema queda demostrado.

TEOREMA: si son bases en un espacio vectorial V, entonces m=n; es decir, cualesquiera dos bases en un espacio vectorial V tienen el mismo numero de vectores.

Para demostrar que S es dependiente, deben encontrarse escalares

 no todos cero, tales que (2)

Sustituyendo (1) en (2) se obtiene (3) 

La ecuación (3) se puede reescribir como

Pero como son linealmente independientes, se debe tener (5)

El sistema (5) es un sistema homogéneo de n ecuaciones con las m incógnitasy como m>n, el teorema dice que el sistema tiene un numero infinito de soluciones. De esta forma, existen escalares no todos cero, tales que (2) se satisface y, por lo tanto, S es un conjunto linealmente dependiente. Esta contradicción prueba que m≤n si se cambian los papeles de S1 y S2, se demuestra que n≤m y la prueba queda completa.

Por este teorema se puede definir uno de los conceptos centrales en el  algebra lineal.

DIMENSIÓN

Si el espacio vectorial V tiene una base con un numero finito de elementos, entonces la dimensión de V es el numero de vectores en todas las bases y V se denomina espacio vectorial de dimensión finita. De otra manera, V se denomina espacio vectorial de dimensión infinita. Si V={0}, entonces se dice que V tiene dimensión cero.

Notación. La dimensión V se denota por dimV.

EJEMPLO: la dimensión de M_mn

En M_mn sea A la matriz de mxn con un uno en la posición ij y cero en otra parte. Es sencillo demostrar que las matrices a para i=1,2,…,m y j=1,2,…,n forman una base para M_mn. Así, dimM_mn=mn.

TEOREMA: suponga que dimV=n. si es un conjunto de m vectores linealmente independientes en V, entonces m≤n.

Seaentonces, igual que la prueba del teorema, se pueden encontrar constantesno todas cero, tales que la ecuación (2) se satisface. Esto contradice la independencia lineal de los vectores u. así, m≤n.

TEOREMA: sea H un subespacio de un espacio vectorial de dimensión finita V. entonces H tiene dimensión finita y (6)

 Sea dimV=n. cualquier conjunto de vectores linealmente independientes en H es también linealmente independiente en V. por el teorema anterior, cualquier conjunto linealmente independiente en H puede contener a lis mas n vectores. Si H={0}, entonces dimH=0. Si dimH≠{0}, sea v≠0 un vector en H y H=gen{v}. si H=H, dimH=1 y la prueba queda completa. De lo contrario, elija a vÎH tal que vÏH y sea H=gen{v1,v2}, y así sucesivamente. Continuamos hasta encontrar vectores linealmente independientestales que H=gen{ }. El proceso tiene que terminar porque se pueden encontrar a lo mas n vectores linealmente independientes en H. entonces H-k≤n.

EJEMPLO: una base para el espacio de solución de un sistema homogéneo

Encuentre una base (y la dimensión) para el espacio de solución S del sistema homogéneo 

SOLUCIÓN: aquí . Como A es una matriz de 2x3, S es un subespacio de R3. Reduciendo por renglones, se encuentra, sucesivamente, 

Entonces y=z y x=-z de manera que todas las soluciones son de la forma.Así,es una base para S y dimS=1. Obsérvese que S es el conjunto de vectores que se encuentran en la recta x=-t, y=t, z=t.

TEOREMA: cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes en eun espacio vectorial V de dimensión n constituyen una base apara V.

Sean, n vectores. Si generan el espacio V, entonces constituyen una base. De lo contrario, existe un vector uÎV tal que uÏgen . Esto significa que los n+1 vectores, u donde linealmente independientes. Para ver esto observe que si (8) 

Entonces porque de lo contrario podríamos escribir u como una combinación lineal dedividiendo la ecuación (8) entre y poniendo todos los términos, excepto u, en el lado derecho. Pero sientonces (8) es

 

Lo que significa queya que los v son linealmente independientes. Ahora sea W=gen{,u}. como todos los vectores entre las llaves están en V, W es un subespacio de V. como ,u son linealmente independientes, forman una base para W, y dimW=n+1. Pero por el teorema, dimW≤n. esta contradicción muestra que no existe el vector uÎV tal que uÏgen{}. Así, genera a V y, por lo tanto, constituye una base para V.

CAMBIO DE BASE

En R2 se expresaron vectores en términos de la base canónica. En Rn se definió la base canonica . En Pn se definió la base estandra como. Estas bases se usan ampliamente por la sencillez que ofrecen a la hora de trabajar con ellas. Pero en ocasiones ocurre que es mas conveniente alguna otra base. Existe un numero infinito de bases para elegir, ya que en un espacio vectorial de dimensión n, cualesquiera n vectores, linealmente independientes, forman una base. En esta sección se vera como cambiar de una base a otra mediante el calculo de cierta matriz. Iniciaremos por un ejemplo sencillo. Sean u. entonces, es la base canonica en R2. SeanComo v1 y v2 son linealmente independientes (porque v1 no es un múltiplo de v2), es una segunda base en R2. Seaun vector en R2. Esta notación significa que

Es decir, x esta expresando en términos de los vectores de la base B. para hacer hincapié en este hecho, se escribe Como B es otra base en R2, existen escalares c1 y c2 tales que (1)Una vez que se encuentran estos escalares. Se puede escribir para indicar que x esta ahora expresado en términos de los vectores en B. para encontrar los números c1 y c2, se escribe la base anterior en términos de la nueva base. Es sencillo verificar que(2) y es decir,

 Entonces,

Así, de (1), 

o

Por ejemplo, si

 entonces