4.6 Base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt.

Conjunto ortonormal en Rⁿ

Se dice que un conjunto de vectores S={u1, u2, …, uk} en Rn es un conjunto ortonormal si (1) (2)

 Si solo satisface la ecuación (1), se dice que el conjunto es ortogonal.

Si u, v y w en Rn y α es un numero real, entonces (3) (4) (5) (6)(7)

Ahora se presenta otra definición útil

Si vϵRn, entonces la longitud o norma de v, denotada por |v|, esta dada por (8)

 Nota. Si entonces v*v= Esto significa que (9)

De esta forma se puede obtener la raíz cuadrada en (8), y se tiene (10)(11)

 TEOREMA:  si S=es un conjunto ortogonal de vectores diferentes de cero, entonces S es linealmente independiente.

Suponga que 

Entonces, para cualquier i=1,2,…,k

Como v≠0 por hipótesis |v|²>0 y se dice que c=0. Esto es cierto para i=1,2,…,k, lo que completa la prueba.

Proceso de ortonormalizacion de Gram-Schmidt

Sea H un subespacio de dimensión m de Rn. Entonces H tiene una base ortonormal.

Sea S= una base de H. se probara el teorema construyendo una base ortonormal a partir de vectores en S. antes de dar los pasios para esta construccion, se observa el hecho sencillo de que un conjunto de vectores linealmente independiente no contiene al vector cero.

Paso 1. Eleccion del primer vector unitario

Sea (12) 

Entonces

 De manera que |u|=1.

Paso 2. Eleccion de un segundo vector ortogonal a u

Como anteriormente se ha visto que, en R2, el vector es la ortogonal a v. en este caso es la proyeccion de u sobre v. esto se ilustra en la siguiente figura.

Resulta que el vector w dado es ortogonal a v cuando w y v están en Rn para cualquier n≥2. Obsérvese que como u es un vector unitario, para cualquier vector v.

Sea (13) entonces  de manera que v’ es ortogonal a u. mas aun, por el teorema, u y v´son linealmente independientes. v’≠0 porque de otra manera  lo que contradice la independencia de v1 y v2.

Paso 3. Elección de un segundo vector unitario

Sea (14)  entonces es evidente que {u1,u2} es un conjunto ortonormal.

Suponga que se han construido los vectores u1, u2,…,uk(k<m) y que forman un conjunto ortonormal. Se mostrara como construir u_k+1.

Paso 4. Continuación del proceso

Sea (15)  entonces para i=1,2,…,k 

Pero  Por lo tanto, 

Así,  es un conjunto linealmente independiente, ortogonal y v´_k+1≠0.

Paso 5

Sea 

Entonces es claro que  es un conjunto ortonormal y se puede continuar de esta manera hasta que k+1=m con lo que se completa la prueba.

Nota. Como cada u es una combinación lineal de vectores v, gen  es un subespacio de gen  y como cada espacio tiene dimensión k, los espacio son iguales.

4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades.

Un espacio vectorial complejo V se denomina espacio con producto interno si para cada par ordenado de vectores u y v en V, existe un numero complejo único (u,v), denominado producto interno de u y v, tal que si u, v y w están en V y αϵC, entonces

 La barra es las condiciones v) y vii) denota el conjugado complejo.

Nota. Si (u,v) es real, entonces (u,v)=(u,v) y se puede eliminar la barra en v).

EJEMPLO: producto interno de dos vectores en C3

En C3 sean x=(1+i, -3, 4-3i) y y=(2-i, -i, 2+i). entonces

 Sea V un espacio con producto interno y suponga que u y v están en V. entonces

Nota 1. Aquí se usa la doble barra en lugar de una sola para evitar confusión con el valor absoluto. Por ejemplo ǁsen tǁ denota la norma de sen t como un “vector” en C[0, 2π] mientras que |sen t| denota el valor absoluto de la función sen t.

Nota 2. La ecuación anterior tiene sentido ya que (u, u)≥0.

EJEMPLO: dos vectores ortogonales en C2

En C2 los vectores (3,-i) y (2,6i) son ortogonales porque

Conjunto ortonormal

El conjunto de vectores es un conjunto ortonormal en V siy

Si solo el primero se cumple, se dice que el conjunto es ortonormal.

TEOREMA: cualquier conjunto finito de vectores ortonormales diferentes de cero en un espacio con producto interno es linealmente independiente.

TEOREMA: cualquier conjunto finito linealmente independiente en un espacio con producto interno se puede convertir en un conjunto ortonormal mediante el proceso de Gram-Schmidt. En particular, cualquier espacio con producto interno tiene una base ortonormal.

Proyección ortogonal

Sea H un subespacio del espacio con producto interno V con base ortonormal

 Si vϵV, entonces la proyección ortonormal de v sobre H denotada por proy_Hv esta dada por (6)

Las demostraciones de los siguientes teoremas son idénticas a sus contrapartes en Rn.

TEOREMA: sea H un subespacio de dimensión finita con producto interno V. suponga que H tiene dos bases ortonormales

 

Sea vϵV. entonces

Complemento ortogonal

Sea H un subespacio del espacio con producto interno V. entonces el complemento ortogonal de H, denotado por H, esta dado por (7)

 TEOREMA: si H es un subespacio del espacio con producto interno V, entonces

TEOREMA DE PROYECCIÓN: sea H un subespacio de dimensión finita del espacio con producto interno V y suponga que vϵV. entonces existe un par único de vectores h y p tales que hϵH, pϵH, y (8) v=h+p donde h=proy_Hv.

Si V tiene dimensión finita, entonces p=proy_Hv.

TEOREMA: sea A una matriz de nxn; entonces A tiene vectores propios linealmente independientes si y solo si multiplicidad geométrica de cada valor propio es igual a su multiplicidades algebraica. En particular, A tiene n vectores propios linealmente independientes si todos los valores propios son distintos (ya que entonces la multiplicidad algebraica de cada valor propio es 1).

4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base.

Se ha visto en R2 conviene escribir vectores como una combinación lineal de los vectores  . En R3 se escribieron los vectores en términos de . Ahora se generalizara esta idea.
BASEUn conjunto finito de vectores es una base para un espacio vectorial V si 

Todo conjunto de n vectores linealmente independiente en Rn es una base en Rn.

En Rn se define 

Puesto que los vectores e, son las columnas d una matriz identidad (que tiene determinante 1),es un conjunto linealmente independiente y, por lo tanto, constituye una base en Rn. Esta base especial se denomina base canonica en Rn. Ahora se encontraran bases para otros espacios.

EJEMPLO: base canonica para M₂₂

Se vio que generan a 

 , entonces es evidentemente que . Así, estas cuatro matrices son linealmente independientes y forman una base para M₂₂, lo que se denomina base cononica para M₂₂.

TEOREMA: sies una base para V y si vÎV, entonces existe un conjunto único de escalares tales que

Existe cuando menos un conjunto de dichos escalares porque genera a V. suponga entonces que v se puede escribir e dos maneras como una combinación lineal de los vectores de la base.

Es decir, suponga que
Sea  dos bases para V. debe demostrarse que m=n. esto se prueba mostrando que si m>n, entonces S es un conjunto literalmente independiente, lo que contradice la hipótesis de que S es una bse. Esto demostrara que m≤n. la misma prueba demostrara que ≤m y esto prueba el teorema. Así, basta demostrar que si m>n, entonces S es independiente. Como S constituye una base, todo u se puede expresar como una combinación lineal de las v. se tiene (1)
TEOREMA: suponga que dimV=n. si 

Entonces, restando se obtiene la ecuaciónpero como los v son linealmente independientes, esta ecuación se cumple si y solo si

 Así, y el teorema queda demostrado.

TEOREMA: si son bases en un espacio vectorial V, entonces m=n; es decir, cualesquiera dos bases en un espacio vectorial V tienen el mismo numero de vectores.

Para demostrar que S es dependiente, deben encontrarse escalares

 no todos cero, tales que (2)

Sustituyendo (1) en (2) se obtiene (3) 

La ecuación (3) se puede reescribir como

Pero como son linealmente independientes, se debe tener (5)

El sistema (5) es un sistema homogéneo de n ecuaciones con las m incógnitasy como m>n, el teorema dice que el sistema tiene un numero infinito de soluciones. De esta forma, existen escalares no todos cero, tales que (2) se satisface y, por lo tanto, S es un conjunto linealmente dependiente. Esta contradicción prueba que m≤n si se cambian los papeles de S1 y S2, se demuestra que n≤m y la prueba queda completa.

Por este teorema se puede definir uno de los conceptos centrales en el  algebra lineal.

DIMENSIÓN

Si el espacio vectorial V tiene una base con un numero finito de elementos, entonces la dimensión de V es el numero de vectores en todas las bases y V se denomina espacio vectorial de dimensión finita. De otra manera, V se denomina espacio vectorial de dimensión infinita. Si V={0}, entonces se dice que V tiene dimensión cero.

Notación. La dimensión V se denota por dimV.

EJEMPLO: la dimensión de M_mn

En M_mn sea A la matriz de mxn con un uno en la posición ij y cero en otra parte. Es sencillo demostrar que las matrices a para i=1,2,…,m y j=1,2,…,n forman una base para M_mn. Así, dimM_mn=mn.

TEOREMA: suponga que dimV=n. si es un conjunto de m vectores linealmente independientes en V, entonces m≤n.

Seaentonces, igual que la prueba del teorema, se pueden encontrar constantesno todas cero, tales que la ecuación (2) se satisface. Esto contradice la independencia lineal de los vectores u. así, m≤n.

TEOREMA: sea H un subespacio de un espacio vectorial de dimensión finita V. entonces H tiene dimensión finita y (6)

 Sea dimV=n. cualquier conjunto de vectores linealmente independientes en H es también linealmente independiente en V. por el teorema anterior, cualquier conjunto linealmente independiente en H puede contener a lis mas n vectores. Si H={0}, entonces dimH=0. Si dimH≠{0}, sea v≠0 un vector en H y H=gen{v}. si H=H, dimH=1 y la prueba queda completa. De lo contrario, elija a vÎH tal que vÏH y sea H=gen{v1,v2}, y así sucesivamente. Continuamos hasta encontrar vectores linealmente independientestales que H=gen{ }. El proceso tiene que terminar porque se pueden encontrar a lo mas n vectores linealmente independientes en H. entonces H-k≤n.

EJEMPLO: una base para el espacio de solución de un sistema homogéneo

Encuentre una base (y la dimensión) para el espacio de solución S del sistema homogéneo 

SOLUCIÓN: aquí . Como A es una matriz de 2x3, S es un subespacio de R3. Reduciendo por renglones, se encuentra, sucesivamente, 

Entonces y=z y x=-z de manera que todas las soluciones son de la forma.Así,es una base para S y dimS=1. Obsérvese que S es el conjunto de vectores que se encuentran en la recta x=-t, y=t, z=t.

TEOREMA: cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes en eun espacio vectorial V de dimensión n constituyen una base apara V.

Sean, n vectores. Si generan el espacio V, entonces constituyen una base. De lo contrario, existe un vector uÎV tal que uÏgen . Esto significa que los n+1 vectores, u donde linealmente independientes. Para ver esto observe que si (8) 

Entonces porque de lo contrario podríamos escribir u como una combinación lineal dedividiendo la ecuación (8) entre y poniendo todos los términos, excepto u, en el lado derecho. Pero sientonces (8) es

 

Lo que significa queya que los v son linealmente independientes. Ahora sea W=gen{,u}. como todos los vectores entre las llaves están en V, W es un subespacio de V. como ,u son linealmente independientes, forman una base para W, y dimW=n+1. Pero por el teorema, dimW≤n. esta contradicción muestra que no existe el vector uÎV tal que uÏgen{}. Así, genera a V y, por lo tanto, constituye una base para V.

CAMBIO DE BASE

En R2 se expresaron vectores en términos de la base canónica. En Rn se definió la base canonica . En Pn se definió la base estandra como. Estas bases se usan ampliamente por la sencillez que ofrecen a la hora de trabajar con ellas. Pero en ocasiones ocurre que es mas conveniente alguna otra base. Existe un numero infinito de bases para elegir, ya que en un espacio vectorial de dimensión n, cualesquiera n vectores, linealmente independientes, forman una base. En esta sección se vera como cambiar de una base a otra mediante el calculo de cierta matriz. Iniciaremos por un ejemplo sencillo. Sean u. entonces, es la base canonica en R2. SeanComo v1 y v2 son linealmente independientes (porque v1 no es un múltiplo de v2), es una segunda base en R2. Seaun vector en R2. Esta notación significa que

Es decir, x esta expresando en términos de los vectores de la base B. para hacer hincapié en este hecho, se escribe Como B es otra base en R2, existen escalares c1 y c2 tales que (1)Una vez que se encuentran estos escalares. Se puede escribir para indicar que x esta ahora expresado en términos de los vectores en B. para encontrar los números c1 y c2, se escribe la base anterior en términos de la nueva base. Es sencillo verificar que(2) y es decir,

 Entonces,

Así, de (1), 

o

Por ejemplo, si

 entonces